Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar. La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
Fase local de L Olimpiada Matemática Española, 2013/14
Sean a y b números positivos. Probar que a + b ≥ √(ab) + √((a2 + b2)/2).
Por si no sabéis interpretar los símbolos de la página web, se trata de probar que la suma de dos números positivos es mayor o igual que la suma de la raíz de su producto más la raíz del promedio de sus cuadrados (también llamada media cuadrática).
Si quieres colaborar con el blog, o contactar con el autor, deja un comentario en cualquiera de las entradas.
Leo todos los comentarios antes de que se publiquen, así que si dejas información sensible (correo electrónico, por ejemplo) lo borraré antes de que lo vea alguien más.
Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons.
2 comentarios:
Si a=b, sustituyendo b por a, entonces se cumple la igualdad 2a = raiz( a^2) + raiz ((a^a+a^2)/2)) = a + a = 2a
Si a>b -> ( a - b ) > 0. Multiplicando por ( a - b ) ambos términos de la desigualdad, (a+b)(a-b) > a^2-b^2 = ab - ( a^2+b^2)/2.
Como(a^2+b^2)/2>ab, puesto que a^2+b^2>2ab, el segundo término de la desigualdad es < 0, mientras que a^2-b^2>0 puesto que a>b.
Si a=b, sustituyendo b por a, entonces se cumple la igualdad 2a = raiz( a^2) + raiz ((a^a+a^2)/2)) = a + a = 2a
Si a>b -> ( a - b ) > 0. Multiplicando por ( a - b ) ambos términos de la desigualdad, (a+b)(a-b) > a^2-b^2 = ab - ( a^2+b^2)/2.
Como(a^2+b^2)/2>ab, puesto que a^2+b^2>2ab, el segundo término de la desigualdad es < 0, mientras que a^2-b^2>0 puesto que a>b.
Publicar un comentario