El estanque helado
Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011
Con el frío del invierno un estanque de forma rectangular se ha congelado.
Unos niños, jugando, han lanzado una piedra que ha quedado en un punto de la superficie, sobre el hielo.
Antonio dice que basta calcular tres longitudes desde la piedra a tres de las esquinas del rectángulo para saber cuánto valdrá la cuarta distancia.
¿Puedes ayudarle a calcular esa cuarta distancia en función de las otras tres?
Llama a, b, c a las tres distancias y encuentra la última, x.
1 comentario:
x^2 = a^2 - b^2 + c^2
o
x^2 + b^2 = a^2 + c^2
La suma de los cuadrados de las partes de cada pseudodiagonal son iguales
Voy a intentar explicarlo con palabras (en dibujo se ve mejor)
¿lo tengo bien?
Imaginemos un rectángulo de vertices comenzando por extremo superior izquierda y siguiendo el reloj (ABCD), la piedra la llamamos O
LLamamos a (distancia AO), b (BO), c (CO), y "x" (DO)
trazamos dos líneas perpendiculares a los lados del rectángulo, de manera que se crucen en O
ahora llamamos "m" (distancia de A a punto de corte perpendicular O a línea AB = distancia de D apunto de corte perpendicular O a línea CD)
y "n" (distancia de B a punto de corte perpendicular O a línea AB = distancia de C a punto de corte perpendicular O a línea CD)
Teorema de Pitágoras
c^2 = n^2 + (línea perpendicular O a DC)^2
x^2 = m^2 + (línea perpendicular O a DC)^2
restando nos queda
c^2 - x^2 = n^2 - m^2
Ahora vamos a arriba
b^2 = n^2 + (línea perpendicular O a AB)^2
a^2 = m^2 + (línea perpendicular O a AB)^2
RESTANDO
b^2 - a^2 = n^2 - m^2
Comparando con la de antes nos queda:
b^2 - a^2 = c^2 - x^2
de donde
x^2 = a^2 - b^2 + c^2
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