Llenar y tapar un rectángulo

Concurso de El Pais, agosto de 2011

Tenemos una mesa rectangular y un número suficientemente grande de círculos, todos del mismo tamaño. Se consideran dos tipos de distribuciones de círculos sobre el tablero:

La primera consiste en poner los círculos sobre la mesa, con su centro dentro de ella, de forma que no se superpongan (sí puede haber contacto) y además de forma que no quepa ningún otro círculo. En ese caso diremos que se ha llenado la mesa.

En la segunda distribución, los círculos sí pueden superponerse y se debe conseguir que todos los puntos de la mesa estén en alguno de ellos (es decir, que no quede a la vista ningún punto del tablero). En ese caso, diremos que se ha tapado la mesa.

El desafío consiste en demostrar que si la mesa se puede llenar con un número n de círculos, entonces se puede tapar con 4n de ellos.

NOTA IMPORTANTE: El planteamiento del desafío no dice nada sobre las medidas de los círculos ni de la mesa, que son totalmente arbitrarias. No se trata por tanto de calcular el número de discos o el tamaño que deberían tener, sino de justificar que la afirmación de que una mesa que se llena con n círculos se tapa con 4n círculos es siempre cierta. Sin embargo, podemos tomar como unidad la medida del círculo, para fijar conceptos.

Solución