viernes, 12 de agosto de 2011

Cuadrados que suman grandes números

Concurso de El Pais, julio de 2011

Los números cuadrados (o cuadrados perfectos) son los cuadrados de los números naturales, es decir: 1 (12), 4 (22), 9 (32), 16 (42), 25 (52), etcétera.

En este problema trataremos de descubrir de cuántas maneras distintas se puede escribir un número dado como suma de cuatro cuadrados. Por ejemplo, el número 39 se puede escribir de dos formas: 39=1+1+1+36 y 39=1+4+9+25.

Observemos que se pueden repetir sumandos y que no contaremos como maneras distintas de escritura las que se obtienen al cambiar el orden de los sumandos. El 0 no se considera cuadrado válido a estos efectos.

Las preguntas concretas de esta semana son: ¿De cuántas formas distintas se puede escribir 2^2012 como suma de cuatro cuadrados? ¿Y de cuántas formas se puede escribir 2^2011?

Una advertencia: si alguien pretende usar un ordenador para calcular las posibles respuestas, quizás le convenga darse cuenta de que el número de cuadrados perfectos más pequeños que los números que se piden es inmenso (concretamente, mayor que 2^1005). Esto significa que el ordenador más potente del mundo tardaría millones de años en calcular todas las posibilidades, por lo que para resolverlo es conveniente hacerlo mediante un razonamiento matemático.

Lo que se pide no es encontrar una manera de escribir los números dados como suma de cuatro cuadrados, sino señalar de cuántas maneras distintas pueden escribirse y describir el razonamiento que se ha seguido para llegar a la solución.

Solución

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