viernes, 9 de julio de 2010

Problemas de la IMO 2010

Estos problemas son de bastante dificultad. Los propongo como información relativa al tema de la página, pero no voy a exponer la solución, al menos en bastante tiempo, ya que exponerla de forma adecuada me llevaría mucho tiempo.

Los tres primeros se propusieron en la primera sesión (miércoles), y los siguientes en la segunda (jueves). Cada sesión tiene una duración de 4 horas y media.

Problema 1

Determine todas las funciones f : R → R tales que

f([x]y) = f(x)[f(y)]

para todos los números x, y ∈ R.

([z] denota el mayor entero que es menor o igual que z.)

Problema 2

Sea ABC un triángulo, I su incentro y Γ su circunferencia circunscrita.

La recta AI corta de nuevo a Γ en D.

Sean E un punto en el arco BDC y F un punto en el lado BC tales que el ángulo BAF es igual a CAE y ambos son menores que la mitad de BAC.

Sea G el punto medio del segmento IF.

Demuestre que las rectas DG y EI se cortan sobre Γ.

Problema 3

Sea N el conjunto de los enteros positivos.

Determine todas las funciones g : N → N tales que (g(m) + n)(m + g(n)) es un cuadrado perfecto para todo m, n ∈ N.

Problema 4

Sea Γ la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y P un punto en el interior del triángulo.

Las rectas AP, BP y CP cortan de nuevo a Γ en los puntos K, L y M, respectivamente.

La recta tangente a Γ en C corta a la recta AB en S.

Si se tiene que SC = SP, demuestre que MK = ML.

Problema 5

En cada una de las seis cajas B1, B2, B3, B4, B5, B6 hay inicialmente sólo una moneda.

Se permiten dos tipos de operaciones:

Tipo 1: Elegir una caja no vacía Bj, con 1 ≤ j ≤ 5. Retirar una moneda de Bj y añadir dos monedas a Bj+1.

Tipo 2: Elegir una caja no vacía Bk, con 1 ≤ k ≤ 4. Retirar una moneda de Bk e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) Bk+1 y Bk+2.

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas B1, B2, B3, B4, B5 vacías y a la caja B6 con exactamente 201020102010 monedas.

(Observe que abc = a(bc).)

Problema 6

Sea a1, a2, a3, . . . una sucesión de números reales positivos.

Se tiene que para algún entero positivo s, an = max{ak + an−k tal que 1 ≤ k ≤ n − 1} para todo n > s.

Demuestre que existen enteros positivos ℓ y N, con ℓ ≤ s, tales que an = a + an−ℓ para todo n ≥ N.

5 comentarios:

Lluís Usó dijo...

Problema 3:

(n+g(m))(m+g(n) quadrat per fecte implica que: o bé n+g(m) i m+g(n) quadrats perfectes per a tot n,m en N, cosa òbviament impossible...
O bé, que n+g(m)=m+g(n) <=> n-m=g(n)-g(m) <=> g(n)=n+k, k en N

Pablo dijo...

¿por qué es obviamente imposible? no lo termino de ver.

Proble Mático dijo...

Yo tampoco. Además, es un problema 3, no es tan fácil, Lluís...

Lluís dijo...

Bé, si no és que qualsevol natural és quadrat perfecte... vull dir, triem un valor de n, aleshores g(n) queda fixat, i ja es veu que sumant g(n) amb qualsevol m no podrà ser quadrat perfecte...

(d'altra banda, k també pot ser enter major que -n, de manera g(n):=n+k estiga en N)

Pablo dijo...

Hola Lluís, ahora que caigo, existen muchos más casos que no has contemplado, por ejemplo: 245*180 es un cuadrado perfecto, pero ni 245 ni 180 son cuadrados perfectos. Por lo tanto, que un numero sea cuadrado perfecto no implica que sus descomposiciones en productos de dos números lo sean. No sé si me explico bien.

Si quieres te puedo pasar algún link donde resuelven el problema (en inglés) para que contemples otras posibles soluciones.