Sumando números con cifras repetidas
Fase local de la XLV Olimpiada Matemática Española, 2009
La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).
3 comentarios:
Supose que deuen haver formes més elegants, però provant de manera ordenada (per a no deixar-se'n cap) va prou bé.
Cal anar provant els nombres grans primer, i després els següents de manera que provem totes les possibilitats
així anem provant per a 1111, 999, 888 .... al primer lloc, i nombres de successivament menys unitats al segon tercer ...
El menor nombre de sumands que ens calen es 4, per tant descartarem aquells que en tinguen més així, arribem a:
1111+777+99+22
999+888+111+11
999+777+222+11
999+666+333+11
999+555+444+11
888+777+333+11
888+666+444+11
777+666+555+11
Aquests són els que he trobat, resulta evident que en el fons són quasi el mateix, ja que sumem i restem 111 a tots els sumands (és per això que el final sempre és 11, perquè la resta no canvia)
para el punto i)
666+555+444+333+11
para el punto ii)
999+777+222+11
999+666+333+11
999+555+444+11
888+777+333+11
888+666+444+11
777+666+555+11
2008= 11x101 + 11x9 + 11x7 + 11x5 + 111x2 + 111x4
2008= 11x122 + 111x6
11 es primo y 111 es el mínimo común múltiplo entre 3 y 37, que son primos.
El m.c.m entre 11 y 111 es, por lo tanto, 3x37x11= 1221 y es también el m.c.d.
Para obtener cifras de números repetidos casi siempre hay que multiplicar a 11 y 111 por números entre 1 y 9 porque 11x número mayor que 9 y 111x número mayor que 9 no da siempre cifras de números repetidos.
Nótese que para 11 hay que multiplicar por 101, 202, 303, 404,…,707, 808,......,10101,20202,30303, etc.
Para 111 hay que multiplicar por 1001,2002,….,8008,….,1001001, 2002002, etc.
Véase que 111- 11.10= 1
En este caso, para obtener 2009 hay que sumar 1 y eso equivale a restar 10 veces 11 (110) y sumar una vez 111.
Es decir,
2009= 11x112 + 111x7
Y ahora hay que dividir en la menor cantidad de términos con números repetidos, teniendo en cuenta lo escrito arriba.
También puede verse lo siguiente:
2009 – 1221= 788
788= 777 + 11 y
1221= 999 + 222 o 888 + 333 o 666 + 555
2009= 777 + 11 + 999 + 222
2009= 777 + 11 + 888 + 333
2009= 777 + 11 + 666 + 555
2009= 999 + 444 + 555 + 11
2009= 999 + 333 + 666 + 11
2009= 999 + 888 + 111 + 11
2009= 888 + 444 + 666 + 11
2009=11x101 + 11x9 + 11x2 + 111x7
2009=11x101 + 11x8 + 11x3 + 111x7
2009=11x101 + 11x7 + 11x4 + 111x7
2009=11x101 + 11x6 + 11x5 + 111x7
Bueno, creo que no hay más de 11 soluciones posibles.
mi mail es ana_paolini_@hotmail.com
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