miércoles, 15 de julio de 2009

Primera sesión de la IMO 2009

Ya se conocen los problemas de la primera sesión. Si no cuento con ayuda, no creo que pueda poner una solución fácil de entender, porque no dispongo de mucho tiempo. La versión que pongo aquí la he obtenido del Portal Mathlinks.

Problema 1. Sea n un entero positivo y sean a1, a2, ..., ak (k ≥ 2) enteros distintos del conjunto {1, 2, ..., n}, tales que n divide a ai(ai+1-1), para i = 1, 2, ..., k-1. Demostrar que n no divide a ak(a1-1).

Problema 2. Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Sean P y Q puntos interiores de los lados CA y AB, respectivamente. Sean K, L y M los puntos medios de los segmentos BP, CQ y PQ, respectivamente, y Γ la circunferencia que pasa por K, L y M. Se sabe que la recta PQ es tangente a la circunferencia Γ. Demostrar que OP = OQ.

Problema 3. Sea s1, s2, s3, ... una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones ss1, ss2, ss3, ... y ss1+1, ss2+1, ss3+1, ... son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión s1, s2, s3, ... es también una progresión aritmética.

3 comentarios:

Federico dijo...

He resolvido el problema 1.

Supongamos que n es primo, entonces a_i o (a_(i+1) - 1) debe ser n, ya que ambos son menores y iguales que n y al no ser primo n no pueden ser un divisor de este. La otra opción es que (a_(i+1) - 1)=1. Veamos que para k=2 la únicas dos opciones son (n;x) o (x;1), pero ninguno cumplen la condición de que a_k * (a_1 - 1) sea divisible por n.
Luego veamos que si tenemos un conjunto de k>2 nros, cualquier grupito de 2 nros debe cumplir esta condición, por lo tanto cualquier grupito de dos nros debe ser (n;x) o (x;1) pero para k>2 esto es imposible. Por lo tanto n no puede ser primo.

Ahora analicemos la primera condicion, osea n divide a a_i(a_(i+1)-1. Veamos que si n=ab, digamos que a | a-1 y b | (a_2 - 1)
Luego a a_2 es coprimo con (a_2 - 1) entonces a | a_2 y b | (a_3 -1)

Así sucesivamente, vemos que:
a | a_i
y
b | a_i - 1

Por lo tanto a | a_k y b | a_1 - 1 y n | a_k(a_1 - 1)
Entonces vemos que a_k==a_1(mod a)
y que a_k==a_1(mod b) y como ambos son menores que ab, por el teorema chino del resto a a_k y a_1 lo cual es una contradicción y asi queda demostrado lo pedido en el enunciado

Anónimo dijo...

Hola Roberto. Soy un chico de 15 años que recién está enpezando a participar en esto de las olimpiadas. me gustaría que me ayudaras en un ejercicio en particular:
Encontrar todas las funciones f : R a R tal que:
f (x*f(x) + f(y)) = (f (x))^2 + y
valga para todos los x e y.
^ significa elevado
* significa por
He notado que hay muchos ejercicios parecidos a éste donde dan una cáracterística de la función y piden calcular qué funciones cumple las características. Hay alguna forma ingeniosa de sacarlo? O hay que ir probando (no creo que sea eso)? Saludos!!

Proble Mático dijo...

Perdona, pero no he tenido tiempo de mirar casi nada del blog en unos días.

Lo que preguntas se trata de un tipo de problemas que se llaman ecuaciones funcionales. Tienen algunos métodos generales de solución, pero la idea general consiste en estudiar las igualdades, sobre todo en aquellos puntos que simplifiquen mucho la expresión, es decir, en aquellos puntos en los que se anule un sumando, o se simplifique un factor, o se convierta en 1 un factor. Cuando tenga un rato, haré la que has propuesto.