domingo, 19 de abril de 2009

Igualdad geométrica

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia c. Desde el vértice A trazamos la bisectriz del ángulo, que corta al lado BC en P y a la circunferencia c en Q, además de en A.

Demuestra que CA*PB = CQ*AP.

Solución

1 comentario:

Lluís Usó dijo...

De la definició de potència d'un punt respecte a una circ. obtenim: BP*PC=CQ*AP i per tant , BPQ semblant a ACP *, i per tant, APC i ABQ tenen un angle comú a més del determinat per la bisectriu, i, en conseqüencia, són semblants, i així podem verificar que CA*PB=CQ*AP (els seus costats són proporcionals.

*És evident que açò ha de ser així (si no no es demanaria demostrar sino comprovar si..) però potser el fet que dos costats siguen proporcionals (primera premisa extreta de la Pot.) no implica necessàriament la semblança dels triangles, però açò, juntament amb el fet que tenen un angle igual (oposat pel vértex) porta a creure que són semblants