martes, 17 de febrero de 2015

Un sistema circular con tres variables

Sexto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Halla todas las ternas de reales positivos (x, y, z) que cumplan el sistema formado pos las siguientes tres ecuaciones:

2x√(x + 1) - y(y + 1) = 1

2y√(y + 1) - z(z + 1) = 1

2z√(z + 1) - x(x + 1) = 1

Solución

domingo, 15 de febrero de 2015

Cuatro puntos alineados

Quinto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

En una recta tenemos cuatro puntos A, B, C y D, en ese orden, de forma que AB = CD. El punto E es un punto fuera de la recta de forma que CE = DE.

Demuestra que el ángulo CED es doble que el ángulo AEB si y sólo si AC = EC.

Solución

jueves, 12 de febrero de 2015

Un producto de números enteros

Cuarto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Los enteros positivos x, y, z cumplen las dos igualdades siguientes:

x + 2y = z

x2 - 4y2 + z2 = 310

Halla todos los posibles valores del producto xyz.

Solución

miércoles, 11 de febrero de 2015

Torneo de baloncesto

Tercer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Un campeonato de baloncesto se ha jugado por sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido acaba en empate hay prórrogas hasta que gane uno de los dos).

El ganador del partido obtiene 2 puntos y el perdedor 1 punto.

Al final del campeonato, la suma de de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de 2015 puntos.

¿Cuántos partidos ha ganado el campeón?

Solución

domingo, 1 de febrero de 2015

Circunferencia entre dos rectas

Segundo problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Sean r y s dos rectas paralelas y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BAC mide 90 grados, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC.

Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta r tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.

Solución

sábado, 31 de enero de 2015

Desigualdad entre cuadrados

Primer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Demuestra que (ax + by)2 ≤ ax2 + by2 para cualesquiera números reales x, y, con a + b = 1, a, b ≥ 0.

¿En qué casos se da la igualdad?

Esta entrada forma parte de una sección temática en la que daré una solución de todos los problemas del viernes del año 2015, escrita de forma puntual.

Solución

sábado, 9 de agosto de 2014

Un punto en la circunferencia

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que el ángulo PAB es igual al BCA y en ángulo CAQ es igual al ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM y Q es el punto medio de AN.

Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.

El cuarto problema, primero de la segunda sesión, suele ser el segundo en nivel de dificultad. Hay varios enfoques para este. Ánimo, intentadlo.

Solución: próximamente.

lunes, 14 de julio de 2014

Único para cada sucesión positiva creciente

Primer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2014 (Ciudad del Cabo, Sudáfrica)

Sea a0 < a1 < a2 < ... una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que: an < (a0 + a1 + ... + an)/n ≤ an + 1

Este problema fue el primero de los propuestos en esa competición, y por tanto, el que mejor promedio obtuvo entre los participantes en el resultado.

Solución: