jueves, 4 de febrero de 2016

Un triángulo con un extraño tipo de centro

Quinto problema del viernes de la fase local de la Olimpiada Matemática Española de 2016

En un triángulo ABC, la bisectriz por A, la mediana por B y la altura por C son concurrentes, y además, la bisectriz por A y la mediana por B son perpendiculares.

Si el lado AB mide una unidad, hallar cuánto miden los otros dos lados.

Aclaramos a preguntas de los participantes que concurrentes significa que los tres segmentos se cortan en un único punto, no en tres, como suele ocurrir con tres rectas no paralelas.

Solución

domingo, 17 de enero de 2016

Formas de colorear un polígono

He pensado en escribir mi propia forma de resolver los problemas de la fase local de la Olimpiada Matemática y publicarlos, que tengo un poco abandonado el blog.

Empiezo por el más difícil a mi juicio, que es el sexto del viernes.

Sexto problema del viernes de la fase local de la Olimpiada Matemática Española de 2016

¿De cuántas formas se pueden colorear los vértices de un polígono con n ≥ 3 lados usando tres colores de forma que haya exactamente m lados, 2 ≤ m ≤ n, con los extremos de colores diferentes?

Solución

viernes, 4 de septiembre de 2015

Resultados del curso 2014/15

Hace tiempo que no publico en el blog, y no es por falta de ganas, sino por cuestiones de tiempo y personales. Durante este curso han pasado muchas cosas en el aspecto de los concursos de problemas, y pronto volveré a poner los problemas más curiosos que he encontrado recientemente.

Pero lo que quiero recoger en esta entrada es el resultado del trabajo de los alumnos de mi centro y de aquellos que conozco de otros, con idea de apoyarles y animarles a continuar participando en los concursos de matemáticas, aprendiendo nuevas ideas y métodos para atacar los problemas que se encuentren.

Como todos los años, iniciamos el curso con la Olimpiada Española de Matemáticas, destinada a alumnos de Bachillerato o de segundo ciclo de la ESO.

La participación en esa prueba suele ser amplia, en esta ocasión participaron 5 personas, aunque otras tantas fueron invitadas a acudir, y decidieron no participar por problemas de tiempo.

Los resultados no fueron tan buenos para nuestro centro como en otras ocasiones, consiguiendo un séptimo puesto (Adrián Lillo Pinto, de 4º de ESO), un noveno (Carlota Seijo Fernández, de 2º de Bachillerato, ganadora de la pasada edición), y un duodécimo (Teresa Mondría Terol, de 4º de ESO). Las otras dos participantes, Alma y Marina, corrieron peor suerte en esta prueba.

Los ganadores en la edición quincuagésimo primera fueron Javier Vicente Juan Poveda y Clemente Juan Oliver, ambos del Colegio Sagrada Familia de Elda. Javier ha cursado 2º de Bachillerato, pero Clemente aún está en 1º de Bachillerato y puede presentarse el año que viene. En tercer lugar, quedó Guillermo Gallud Baños, del IES San Blas de Alicante, también de 2º de Bachillerato. Lograron accésit (cuarto y quinto puesto) David Pérez Alberto, del Colegio Inmaculada Jesuitas de Alicante y Javier Francés Falip, del Colegio La Salle de Alcoy, ambos de 2º de Bachillerato.

El siguiente evento en el que implicamos a nuestros alumnos fue el Open Matemático (Torneo abierto de resolutores de problemas organizado por el Colectivo Frontera), en el que participábamos por primera vez. Fue complicado fomentar la participación, fundamentalmente por falta de experiencia, pero varios alumnos disfrutaron del desarrollo del concurso a lo largo de varias semanas. Lamentablemente, no se dieron cuenta de que saltarse alguna participación te penaliza en la puntuación final.

El ganador absoluto del concurso fue Pablo Gómez Toribio, del Tháder de Orihuela.

Nuestro primer alumno clasificado lo hizo entre los cuartos, Manuel Gómez Pérez, pero también tuvimos en puestos importantes a Teresa Mondría Terol, quinta, Pablo Duque Dorado (posición absoluta 49-60), junto a Carlota Seijo Fernández, Marina López Sánchez (82-97),e Inés Hernández Pastor y Gonzalo Pons Delgado (98-117), aunque también participaron otros muchos alumnos de forma menos regular.

En el mes de marzo llegó la Prueba Canguro, donde participaron un total de 24 alumnos del centro, obteniendo una puntuación promedio más alta que otros años. En principio, parece que fue algo general, pues los premios absolutos se situaron algo más alto de lo habitual, de forma que sólo tuvimos uno, Teresa Mondría Terol, séptima nacional en su nivel. De todas formas, varios participantes se quedaron rozando el límite de los premios, por ejemplo, Shuwei Zhu quedó a sólo 6,25 puntos del último premiado de su categoría, y María Salinas Mayans a menos de nueve puntos.

Después, en abril, se celebró la primera fase de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, en la que llevamos muchos años participando en sus niveles A y B (ESO). En esta prueba tuvimos un gran éxito, ya que se logró clasificar para la segunda fase una cantidad mayor que ningún otro año. También quiero citar que tuvimos otro récord menos visible, y es el número de voluntarios que pidieron participar, que ascendió a 10 personas en segundo ciclo, y a nada menos que 36 en primer ciclo. Es curioso que la clasificación en la prueba que tuvimos que preparar para seleccionar a la gente, clasificó a gente en último lugar que luego estuvieron entre los mejores.

El resultado de la fase comarcal fue que se clasificaron para la provincial Daniel Elvira López y Gema Santana Cartagena, del primer ciclo de la ESO, y Sebastián García Burgos, Manuel Gómez Pérez, Adrián Lillo Pinto, Teresa Mondría Terol y Shuwei Zhu del segundo ciclo de la ESO. Un total de 7 personas. También citaré a los alumnos de centros adscritos al nuestro, en primaria se clasificaron Eduardo Almarcha Roche, Manuel Galvañ Ruiz y Emilio Mondría Terol, todos ellos del centro Prácticas-La Aneja.

En la fase provincial también tuvimos un buen resultado, quedando Gema Santana Cartagena como segunda suplente de primer ciclo para la final (no le llamaron para participar) y Manuel Gómez Pérez (2º), Teresa Mondría Terol (5ª) y Shuwei Zhu (8ª), de segundo ciclo, clasificados para la final en Castellón. También se clasificó por primaria Manuel Galvañ Ruiz, del centro Prácticas-La Aneja.

En mayo, algunos de nuestros alumnos participa en la difícil Olimpiada de Mayo, que también usamos en clase como ejemplo de resolución de problemas, aunque ninguno de ellos se clasificó entre los 10 primeros de España en su nivel.

Un par de alumnos de primero de ESO se interesaron, a pesar de la dificultad de ser seleccionados y de participar, en la actividad Estalmat, pero no fueron seleccionados (ni siquiera, debido a las fechas en las que se hace la selección, tenemos la seguridad de que participaran en ésta).

domingo, 8 de marzo de 2015

Un problema muy complejo

Problema propuesto y descartado para la Olimpiada Internacional de Matemáticas

No suelo proponer problemas de este tipo, y sobre todo tan difíciles como éste, pero me ha parecido, por su planteamiento y su solución, muy original y repleto de ideas interesantes, así que aquí lo dejo, y pronto colgaré su solución.

Prueba que, para cada número positivo racional x, existen números enteros positivos a, b, c, d, de forma que (a3 + b3)/(c3 + d3) = x

Solución

martes, 17 de febrero de 2015

Un sistema circular con tres variables

Sexto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Halla todas las ternas de reales positivos (x, y, z) que cumplan el sistema formado pos las siguientes tres ecuaciones:

2x√(x + 1) - y(y + 1) = 1

2y√(y + 1) - z(z + 1) = 1

2z√(z + 1) - x(x + 1) = 1

Solución

domingo, 15 de febrero de 2015

Cuatro puntos alineados

Quinto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

En una recta tenemos cuatro puntos A, B, C y D, en ese orden, de forma que AB = CD. El punto E es un punto fuera de la recta de forma que CE = DE.

Demuestra que el ángulo CED es doble que el ángulo AEB si y sólo si AC = EC.

Solución

jueves, 12 de febrero de 2015

Un producto de números enteros

Cuarto problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Los enteros positivos x, y, z cumplen las dos igualdades siguientes:

x + 2y = z

x2 - 4y2 + z2 = 310

Halla todos los posibles valores del producto xyz.

Solución

miércoles, 11 de febrero de 2015

Torneo de baloncesto

Tercer problema del viernes de la Fase Local de la LI Olimpiada Española de Matemáticas 2015

Un campeonato de baloncesto se ha jugado por sistema de liga a dos vueltas (cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido acaba en empate hay prórrogas hasta que gane uno de los dos).

El ganador del partido obtiene 2 puntos y el perdedor 1 punto.

Al final del campeonato, la suma de de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón es de 2015 puntos.

¿Cuántos partidos ha ganado el campeón?

Solución